Question

如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（﹣3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），設拋物線的頂點為D．

（1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標．

（2）試判斷△BCD的形狀，并說明理由．

（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

　

Answer 1

       解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c

由拋物線與y軸交于點C（0，3），可知c=3．即拋物線的解析式為y=ax²+bx+3．

把點A（1，0）、點B（﹣3，0）代入，得解得a=﹣1，b=﹣2

∴拋物線的解析式為y=﹣x²﹣2x+3．

∵y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4

∴頂點D的坐標為（﹣1，4）；

（2）△BCD是直角三角形．

理由如下：解法一：過點D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F．

∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，

∴BC²=OB²+OC²=18

在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，

∴CD²=DF²+CF²=2

在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，

∴BD²=DE²+BE²=20

∴BC²+CD²=BD²

∴△BCD為直角三角形．

解法二：過點D作DF⊥y軸于點F．

在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3

∴OB=OC∴∠OCB=45°

∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1

∴DF=CF

∴∠DCF=45°

∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°

∴△BCD為直角三角形．

（3）①△BCD的三邊，==，又=，故當P是原點O時，△ACP∽△DBC；

②當AC是直角邊時，若AC與CD是對應邊，設P的坐標是（0，a），則PC=3﹣a，=，即=，解得：a=﹣9，則P的坐標是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，則△ACP∽△CBD不成立；

③當AC是直角邊，若AC與BC是對應邊時，設P的坐標是（0，b），則PC=3﹣b，則=，即=，解得：b=﹣，故P是（0，﹣）時，則△ACP∽△CBD一定成立；

④當P在x軸上時，AC是直角邊，P一定在B的左側，設P的坐標是（d，0）．

則AP=1﹣d，當AC與CD是對應邊時，=，即=，解得：d=1﹣3，此時，兩個三角形不相似；

⑤當P在x軸上時，AC是直角邊，P一定在B的左側，設P的坐標是（e，0）．

則AP=1﹣e，當AC與DC是對應邊時，=，即=，解得：e=﹣9，符合條件．

總之，符合條件的點P的坐標為：．