Question

如圖，已知AD是⊙O的切線，切點為D，AC經過圓心O，交⊙O于B，C兩點，弦DE⊥AC，垂足為F，∠A=30°．
（1）求∠BED的度數；
（2）△DCE是否是等邊三角形？請說明理由；
（3）若⊙O的半徑R=2，試求CE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）作輔助線，連接OD，根據切線的性質知：OD⊥AD，由∠A的度數，可知∠AOD的度數，進而可知∠BDE的度數；
（2）根據=，可得：ED=CD，根據BC為⊙O的直徑可知：∠BEC=90°，再根據∠BED的度數，可求得∠DEC=60°，從而可證：△DCE是等邊三角形；
（3）在Rt△BCE中，根據∠CBE的度數和BC的長，運用三角函數可將CE的長求出．
解答：解：（1）連接OD，
∵AD切⊙O于點D
∴OD⊥AD
∴∠ADO=90°
又∵∠A=30°
∴∠AOD=60°
∴∠BED=∠BCD=∠AOD=30°；

（2）△DCE是等邊三角形，
理由如下：
∵BC為⊙O的直徑且DE⊥AC
∴
∴CE=CD
∵BC是⊙O的直徑
∴∠BEC=90°
∵∠BED=30°
∴∠DEC=60°
∴△DCE是等邊三角形；

（3）∵⊙O的半徑R=2，
∴直徑BC=4，
由（2）知在Rt△BEC中，，
∴CE=BCsin60°==．
點評：本題主要考查切線的性質，等邊三角形的判定及解直角三角形的有關知識．