Question

【題目】（類比探究）如圖1，線段AD，CB相交于點O，連接AB，DC，我們把形如圖1的圖形稱之為“X型”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AE和CE相交于點E，并且與CB，AD分別相交于F，G，試解答下列問題：

（1）在圖1中，請直接寫出∠A，∠B，∠C，∠D之間的數量關系：____________；

（2）在圖2中，共有______個“X型”；

（3）在圖2中，若∠D=40°，∠B=30°，則∠AEC=_______；

（4）在圖2中，若∠D=α，∠B=β，則∠AEC=__________．

Answer 1

【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）6；（3）35°；（4）α+β．

【解析】

（1）根據三角形內角和定理即可得出∠A+∠B=∠C+∠D；

（2）根據“X型”的定義，仔細觀察圖形即可得出“X型”共有6個；

（3）先根據“X型”中的角的規律，可得∠BAE+∠B=∠E+∠ECB①，∠ECD+∠D=∠EAD+∠E②，再根據角平分線的定義，得出∠BAE=∠EAD，∠BCE=∠ECD，將①+②，可得2∠E=∠D+∠B，進而求出∠E的度數；

（4）同（3），根據“X型”中的角的規律及角平分線的定義，即可得出2∠AEC=α+β．

（1）∵∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠DOC=180°，∠AOB=∠DOC，

∴∠A+∠B=∠C+∠D；

故答案為：∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）①線段AD、CB相交于點O，形成“X型”；

②線段AG、CF相交于點O，形成“X型”；

③線段AD、CE相交于點G，形成“X型”；

④線段AD、CF相交于點O，形成“X型”；

⑤線段AE、CB相交于點F，形成“X型”；

⑥線段AG、CB相交于點O，形成“X型”；

故“X型”共有6個；

故答案為：6．

（3）∠BAE+∠B=∠E+∠ECB，①

∠ECD+∠D=∠EAD+∠E，②

∵∠DAB和∠BCD的平分線AE和CE相交于點E，

∴∠DAE=∠EAB，∠DCE=∠ECB，

①+②得：

∠BAE+∠B +∠ECD+∠D =∠E+∠ECB +∠EAD+∠E，

即2∠E=∠D+∠B，

又∵∠D=40°，∠B=30°，

∴2∠E=40°+30°=70°，

∴∠AEC=35°；

故答案為：35°；

（4）由（3）知：2∠E=∠D+∠B．

∵∠D=α，∠B=β，

∴2∠E=α+β．

故答案為：α+β．