Question

【題目】函數學習中，自變量取值范圍及相應的函數值范圍問題是大家關注的重點之一，請解決下面的問題．

（1）分別求出當2≤x≤4時，三個函數：y＝2x+1，y＝，y＝2（x﹣1）2+1的最大值和最小值；

（2）若y＝的值不大于2，求符合條件的x的范圍；

（3）若y＝，當a≤x≤2時既無最大值，又無最小值，求a的取值范圍；

（4）y＝2（x﹣m）2+m﹣2，當2≤x≤4時有最小值為1，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）對于y＝2x+1，當x＝2時，y最小＝5；對于y＝，當x＝2時，y最大＝1；當x＝4時，y最小＝；對于y＝2（x﹣1）2+1，當x=2時，y最小＝3，當x＝4時，y最大＝19；（2）x＜0或x≥1；（3）；（4）1或3.

【解析】

（1）根據k=2＞0結合一次函數的性質即可得出：當2≤x≤4時，y=2x+1的最大值和最小值；根據二次函數的解析式結合二次函數的性質即可得出：當2≤x≤4時，y=2（x-1）2+1的最大值和最小值；

（2）令y=≤2，解之即可得出x的取值范圍；

（3）①當k＞0時，如圖得當0＜x≤2時，得到y=無最大值，有最小值，同理當a＜0時，且a≤x＜0時，得到y≤有最大值，無最小值，②當k＜0時，如圖得當0＜x≤2時，y=無最小值，有最大值，同理當a＜0時，且a≤x＜0時，y≤有最小值，無最大值，于是得到結論；

（4）分m＜2、2≤m≤4和m＞4三種情況考慮，根據二次函數的性質結合當2≤x≤4時有最小值為1即可得出關于m的一元二次方程（一元一次方程），解之即可得出結論．

解：（1）∵y＝2x+1中k＝2＞0，

∴y隨x的增大而增大，

∴當x＝2時，y最小＝5；當x＝4時，y最大＝9．

∵y＝中k＝2＞0，

∴在2≤x≤4中，y隨x的增大而減小，

∴當x＝2時，y最大＝1；當x＝4時，y最小＝．

∵y＝2（x﹣1）2+1中a＝2＞0，且拋物線的對稱軸為x＝1，

∴當x＝1時，y最小＝1；但是2≤x≤4，所以當x=2時，y最小＝3，當x＝4時，y最大＝19．

（2）令y＝≤2，

解得：x＜0或x≥1．

∴符合條件的x的范圍為x＜0或x≥1．

（3）①當k＞0時，如圖，

當0＜x≤2時，y＝無最大值，有最小值，同理當a＜0時，且a≤x＜0時，y≤有最大值，無最小值，

②當k＜0時，如圖，

當0＜x≤2時，y＝無最小值，有最大值，同理當a＜0時，且a≤x＜0時，y≤有最小值，無最大值，∴當k＜0，a＜0時，此時，y＝既無最大值，又無最小值，綜上所述，a的取值范圍是a＜0；

（4）①當m＜2時，有2（2﹣m）2+m﹣2＝1，

解得：m1＝1，m2＝（舍去）；

②當2≤m≤4時，有m﹣2＝1，

解得：m3＝3；

③當m＞4時，有2（4﹣m）2+m﹣2＝1，

整理得：2m2﹣15m+29＝0．

∵△＝（﹣15）2﹣4×2×29＝﹣7，無解．

∴m的值為1或3．

①當k＞0時，如圖，

當0＜x≤2時，y＝無最大值，有最小值，同理當a＜0時，且a≤x＜0時，y≤有最大值，無最小值，

②當k＜0時，如圖得當0＜x≤2時，y＝無最小值，有最大值，

同理當a＜0時，且a≤x＜0時，y≤有最小值，無最大值，

∴當k＜0，a＜0時，此時，y＝既無最大值，又無最小值，

綜上所述，a的取值范圍是a＜0；