Question

（本題滿分10分，每小題5分）
如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點M，AE切⊙O于點A，交BC的延長線于點E，連接AC．

（1）若∠B＝30°，AB＝2，求CD的長；
（2）求證：AE2＝EB·EC．

Answer 1

（1）
（2）證明略

解：（1）解法一：                        解法二：
∵AB為⊙O的直徑，                    ∵AB為⊙O的直徑，∠B＝30°，
∴∠ACB＝90°．……1分               ∴AC＝AB＝1，BC＝AB•cos30°＝…2分
∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝2，   ∵弦CD⊥直徑AB于點M，
∴BC＝AB•cos30°＝2×…2分   ∴CD＝2CM，AB×CM＝AC×BC……4分 
∵弦CD⊥直徑AB，∠B＝30°，        ∴CD＝2CM＝2×
∴ CM＝BC=.……4分                     ＝2×＝……5分
CD＝2CM＝．……5分  
（其它解法請酌情給分）
（2）證明：∵AE切⊙O于點A，AB為⊙O的直徑，
∴∠BAE＝90°，∠ACE＝∠ACB＝90°， 6分
∴∠ACE＝∠BAE＝90°．  7分
又∵∠E＝∠E，
∴Rt△ECA∽Rt△EAB．    8分
∴．  9分
∴AE2＝EB•EC．  10分