Question

（8分）如圖，⊙O的圓心在Rt△ABC的直角邊AC上，⊙O經過C、D兩點，與斜邊AB交于點E，連結BO、ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，連結DF．

（1）求證：AB為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，sin∠DFE=，求EF的長．

Answer 1

（1）略
（2）

(1)證明：連結OE

∵ED∥OB
∴∠1=∠2，∠3=∠OED，
又OE=OD
∴∠2=∠OED
∴∠1=∠3                  （1分）
又OB="OB  " OE= OC
∴△BCO≌△BEO（SAS）                                       （2分）
∴∠BEO=∠BCO=90°    即OE⊥AB
∴AB是⊙O切線.                                              (4分)
（2）解：∵∠F=∠4，CD=2·OC=10；由于CD為⊙O的直徑，∴在Rt△CDE中有：
ED=CD·sin∠4=CD·sin∠DFE=                        （5分）
∴                         （6分）
在Rt△CEG中，
∴EG=                                         （7分）
根據垂徑定理得：                         （8分）