Question

【題目】已知，如圖所示，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于點E，與CD相交于點F．H是BC邊上的中點，連接DH與BE相交于點G．

（1）求證：BF=AC；

（2）求證：CE=BF；

（3）請你根據該題的條件并結合圖形，自己提出一個問題，并解答或證明你提出的問題．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）提出問題是連接DE，則∠DEB=45°，證明見解析.

【解析】

(1)根據等腰三角形的性質得到BD=CD，根據全等三角形的性質即可得到BF=AC；

(2)根據全等三角形的性質得到AE=CE=AC，等量代換得到CE=BF；

(3)提出∠DEB=∠DCB=45，進而證明即可.

解：（1）∵∠ABC=45°，CD⊥AB于D，

∴△BCD是等腰直角三角形，H是BC邊的中點，

∴BD=CD，

∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，

∴∠DBF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，

∴∠DBF=∠ACD，

在△BDF與△CDA中，

∴△BDF≌△CDA（ASA），

∴BF=AC；

（2）∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，

∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，

∴在△ABE與△CBE中，

∴△ABE≌△CBE（ASA），

∴AE=CE=AC，

∴BF=2CE，

即CE=BF；

（3）提出問題是連接DE，則∠DEB=45°，

證明如下：

∵∠CEB=∠CDB=90°，∴C，B，D，E四點共圓，

∴∠DEB=∠DCB=45°.