Question

【題目】在數學活動課上，小明提出這樣一個問題：∠B=∠C=90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC，如圖，則下列說法正確的有（　　）個．

（1）AE平分∠DAB；（2）△EBA≌△DCE；（3）AB+CD=AD；（4）AE⊥DE；（5）AB∥CD．

A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個

Answer 1

【答案】C

【解析】

取AD的中點F，連接EF．根據平行線的性質可證得（1）（4）（5），根據梯形中位線定理可證得（3）正確．根據全等三角形全等的判定可證得（2）的正誤，即可得解．

解：如圖：取AD的中點F，連接EF．

∵∠B=∠C=90°，

∴AB∥CD；[結論（5）]

∵E是BC的中點，F是AD的中點，

∴EF∥AB∥CD，2EF=AB+CD（梯形中位線定理）①；

∴∠CDE=∠DEF（兩直線平等，內錯角相等），

∵DE平分∠ADC，

∴∠CDE=∠FDE=∠DEF，

∴DF=EF；

∵F是AD的中點，∴DF=AF，

∴AF=DF=EF②，

由①得AF+DF=AB+CD，即AD=AB+CD；[結論（3）]

由②得∠FAE=∠FEA，

由AB∥EF可得∠EAB=∠FEA，

∴∠FAE=∠EAB，即EA平分∠DAB；[結論（1）]

由結論（1）和DE平分∠ADC，且DC∥AB，可得∠EDA+∠DAE=90°，則∠DEA=90°，即AE⊥DE；[結論（4）]．

由以上結論及三角形全等的判定方法，無法證明△EBA≌△DCE．

正確的結論有4個．

故選：C．