Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，其中點B（2，0），交y軸于點C（0，﹣ ）．直線y=mx+ 過點B與y軸交于點N，與拋物線的另一個交點是D，點P是直線BD下方的拋物線上一動點（不與點B、D重合），過點P作y軸的平行線，交直線BD于點E，過點D作DM⊥y軸于點M．

（1）求拋物線y= x2+bx+c的表達式及點D的坐標；
（2）若四邊形PEMN是平行四邊形？請求出點P的坐標；
（3）過點P作PF⊥BD于點F，設△PEF的周長為C，點P的橫坐標為a，求C與a的函數關系式，并求出C的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將B，C點坐標代入函數解析式，得 ，

解得 ，

拋物線的解析式為y= x2+ x﹣ ．

∵直線y=mx+ 過點B（2，0），

∴2m+ =0，

解得m=﹣ ，

直線的解析式為y=﹣ x+ ．

聯立直線與拋物線，得

∴ x2+ x﹣ =﹣ x+ ，

解得x1=﹣8，x2=2（舍），

∴D（﹣8，7 ）

（2）

解：∵DM⊥y軸，

∴M（0，7 ），N（0， ）

∴MN=7 ﹣ =6．

設P的坐標為（x， x2+ x﹣ ），E的坐標則是（x，﹣ x+ ）

PE=﹣ x+ ﹣（ x2+ x﹣ ）=﹣ x2﹣ x+4，

∵PE∥y軸，要使四邊形PEMN是平行四邊形，必有PE=MN，

即﹣ x2﹣ x+4=6，解得x1=﹣2，x2=﹣4，

當x=﹣2時，y=﹣3，即P（﹣2，﹣3），

當x=﹣4時，y=﹣ ，即P（﹣4，﹣ ），

綜上所述：點P的坐標是（﹣2，﹣3）和）（﹣4，﹣ ）

（3）

解：在Rt△DMN中，DM=8，MN=6，

由勾股定理，得

DN= =10，

∴△DMN的周長是24．

∵PE∥y軸，

∴∠PEN=∠DNM，

又∵∠PFE=∠DMN=90°，

∴△PEF∽△DMN，

∴ = ，

由（2）知PE=﹣ a2﹣ a+4，

∴ = ，

∴C=﹣ a2﹣ a+ ，

C=﹣ （a+3）2+15，

C與a的函數關系式為C=﹣ a2﹣ a+ ，

當x=﹣3時，C的最大值是15

【解析】（1）根據待定系數法，可得拋物線的解析式，直線的解析式，根據解方程組，可得D點坐標；（2）根據y軸上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得MN，PE的長，根據平行四邊形的判定，可得關于x的方程，根據解方程，可得P的橫坐標，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案；（3）根據勾股定理，可得DN的長，根據相似三角形的判定與性質，可得 = ，根據比例的基本性質，可得答案．
【考點精析】掌握平行四邊形的判定和相似三角形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．