Question

【題目】如圖1，平面內，，，.

（1）求證：；

（2）當時，取的中點分別為，連接，如圖2，判斷的形狀，并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△AMN為等腰直角三角形，證明見解析．

【解析】

（1）由可得，根據，，，利用SAS即可判定△ACD≌△ABE即可解決問題；

（2）先根據SAS判定△ABM≌△ACN，再根據全等三角形的性質，得出AM=AM，∠CAN=∠BAM，最后根據∠BAC=90°即可得到∠MAN=90°，進而得到△AMN為等腰直角三角形．

（1）如圖1，∵，

∴，

在△DAC和△BAE中，

，

∴△DAC≌△BAE（SAS），

∴;

（2）△AMN為等腰直角三角形．

證明：由（1）可得，BE=CD，

∵CD，BE的中點分別為點N、M，

∴BM=CN，

∵△DAC≌△BAE，

∴∠ABM=∠ACN，

在△ABM和△ACN中，

，

∴△ABM≌△ACN（SAS），

∴AM=AN，且∠BAM=∠CAN，

又∵∠CAN+∠NAB=90°，

∴∠MAB+∠BAN=90°，

∴∠MAN=90°，

∴△AMN為等腰直角三角形．