Question

19．在△ABC中，AD是△ABC的角平分線．
（1）如圖1，過C作CE∥AD交BA延長線于點E，求證：AE=AC．
（2）如圖2，M為BC的中點，過M作MN∥AD交AC于點N，若AB=4，AC=7，求NC的長．

Answer 1

分析 （1）根據平行線的性質得到∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE；然后結合角平分線的性質和等量代換推知∠E=∠ACE，根據等角對等邊，即可解答；
（2）延長BA與MN延長線于點E，過B作BF∥AC交NM延長線于點F，求出BF=CN，AE=AN，BE=BF．設CN=x，則BF=x，AE=AN=AC-CN=7-x，BE=AB+AE=4+7-x．得出方程4+7-x=x．求出即可．

解答 解：（1）∵AD是△ABC中∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵CE∥AD，
∴∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE，
∴∠E=∠ACE，
∴AE=AC．
（2）如圖，延長BA與MN延長線于點E，過B作BF∥AC交NM延長線于點F，
∴∠3=∠C，∠F=∠4
∵M為BC的中點
∴BM=CM．
在△BFM和△CNM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠4}\\{∠3=∠C}\\{BM=CM}\end{array}\right.$
∴△BFM≌△CNM（AAS），
∴BF=CN，
∵MN∥AD，
∴∠1=∠E，∠2=∠4=∠5．
∴∠E=∠5=∠F．
∴AE=AN，BE=BF．
設CN=x，則BF=x，AE=AN=AC-CN=7-x，BE=AB+AE=4+7-x．
∴4+7-x=x．
解得 x=5.5．
∴CN=5.5．

點評 本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定，平行線的性質等知識點的綜合運用，在（2）中作出輔助線是解決本題的關鍵．