Question

6．已知關于x的一元二次方程mx²-（m-1）x-1=0．
（1）求證：這個一元二次方程總有兩個實數根；
（2）若x₁，x₂是關于x的一元二次方程mx²-（m-1）x-1=0的兩根，且$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=2x₁x₂+1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據根的判別式進行判斷；
（2）根據根與系數的關系求出兩根之和和兩根之積，代入求解．

解答 （1）證明：由題意得，m≠0，
△=（m-1）²-4m×（-1）=（m+1）²，
∵（m+1）²≥0，即△≥0，
故這個一元二次方程總有兩個實數根；
（2）解：x₁+x₂=$\frac{m-1}{m}$，x₁x₂=-$\frac{1}{m}$，
∵$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=2x₁x₂+1，
∴$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2x₁x₂+1，
∴$\frac{（\frac{m-1}{m}）^{2}-2•（-\frac{1}{m}）}{-\frac{1}{m}}$=2•（-$\frac{1}{m}$）+1，
整理得，m²+m-1=0，
∴m=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或m=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查了根的判別式：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0?方程沒有實數根．