Question

課本回顧
如圖，用半徑R＝3cm，r＝2cm的鋼球測量口小內大的內孔的直徑D．測得鋼球頂點與孔口平面的距離分別為a＝4cm，b＝2cm，則內孔直徑D的大小為     ．
問題拓展
如圖，在矩形ABCD內，已知⊙O₁與⊙O₂互相外切，且⊙O₁與邊AD、DC相切，⊙O₂與邊AB、BC相切．若AB＝4，BC＝3，⊙O₁與⊙O₂的半徑分別為r，R．求O₁O₂的值．
靈活運用
如圖，某市民廣場是半徑為60米，圓心角為90°的扇形AOB，廣場中兩個活動場所是圓心在OA、OB上，且與扇形OAB內切的半圓☉O_1、☉O₂，其余為花圃．若這兩個半圓相外切，試計算當兩半圓半徑之和為50米時活動場地的面積.

Answer 1

(1)9cm；（2）7-2；（3）650π平方米．

試題分析：（1）利用相切兩圓的性質得出AB=5cm，再利用已知得出BC的長，由勾股定理求出AC的長，即可得出EF的長；
（2）連接O₁、O₂，并分別過O₁、O₂作AB、BC的平行線，則O₁O₂²=O₁ E²+O₂E²，進而求出R+r的值即可；
（3）當兩圓半徑之和為50米時，有O₁O=60-r，O₂O=60-R，O₁O₂=50，則（60-r）²+（60-R）²=50²，即可得出R²+r²，進而利用圓的面積公式求出即可．
（1）如圖1，

∵半徑R=3cm，r=2cm，a=4cm，b=2cm，
∴AB=5cm，BC=3+4-4=3（cm），
∴AC=4cm，
∴D=EF=AF+EC+AC=3+4+2=9（cm）.
（2）如圖2，連接O₁、O₂，并分別過O₁、O₂作AB、BC的平行線．
則O₁O₂²=O₁ E²+O₂E²．
即（R+r）²=[4-（R+r）]²+[3-（R+r）]²
化簡得：（R+r）²-14（R+r）+25=0，
解得：O₁O₂=r+R=7-2或7+2（不合題意舍去）；
（3）當兩圓半徑之和為50米時，
有O₁O=60-r，O₂O=60-R，O₁O₂=50，
則（60-r）²+（60-R）²=50²．
即R²+r²-120（R+r）+4700=0．
∴R²+r²=1300．
∴活動場所面積=πR²+πr²=π•1300=650π（平方米）．