Question

如圖，已知反比例函數y=

k

x

的圖象經過點A（-1，3），若在x軸上存在點B，使得線段BA繞點B逆時針旋轉90°后，點A仍落在反比例函數圖象上，則B點的坐標為______．

Answer 1

∵反比例函數y=

k

x

的圖象經過點A（-1，3），
∴

k

-1

=3，
解得k=-3，
∴反比例函數解析式為y=-

3

x

，
設OB=a，
①如圖1，點B在x軸負半軸時，過點A作AC⊥x軸于C，過點A′作A′D⊥x軸于D，
∵旋轉角是90°，
∴∠ABA′=90°，
∴∠ABC+∠A′BD=90°，
又∵∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠A′BD，
在△ABC和△BA′D中，

∠BAC=∠A′BD ∠ACB=∠A′DB=90° AB=A′B

，
∴△ABC≌△BA′D（AAS），
∴A′D=BC=a-1，BD=AC=3，
∴點A′的坐標為（-a-3，a-1），
代入反比例函數解析式得，-

3

-a-3

=a-1，
解得a₁=-1+

7

，a₂=-1-

7

（舍去），
∴點B的坐標為（1-

7

，0），
②如圖2，點B在x軸正半軸時，
同理可得點A′的坐標為（a-3，a+1），
代入反比例函數解析式得，-

3

a-3

=a+1，
解得，a₁=0（舍去），a₂=2，
∴點B的坐標為（2，0），
綜上所述，點B的坐標為（1-

7

，0）或（2，0）．
故答案為：（1-

7

，0）或（2，0）．