Question

【題目】感知：如圖（1），已知正方形ABCD和等腰直角△EBF，點E在正方形BC邊上，點F在AB邊的延長線上，∠EBF=90°，連結AE、CF．

易證：∠AEB=∠CFB（不需要證明）．

探究：如圖（2），已知正方形ABCD和等腰直角△EBF，點E在正方形ABCD內部，點F在正方形ABCD外部，∠EBF=90°，連結AE、CF．

求證：∠AEB=∠CFB

應用：如圖（3），在（2）的條件下，當A、E、F三點共線時，連結CE，若AE=1，EF=2，則CE=______．

Answer 1

【答案】感知：見解析；探究：見解析；應用： ．

【解析】

感知：先判斷出∠ABC=∠CBF=90°，AB=BC，進而判斷出BE=BF，得出△ABE≌△CBF（SAS）即可得出結論；

探究：先判斷出∠ABE=∠CBF，進而得出△ABE≌△CBF（SAS），即可得出結論；

應用：先求出CF=1，再判斷出∠CFE=90°，利用勾股定理即可得出結論．

解：感知：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠CBF=90°，AB=BC，

∵△BEF是等腰直角三角形，

∴BE=BF，

∴△ABE≌△CBF（SAS），

∴∠AEB=∠CFB；

探究：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

∵△BEF是等腰直角三角形，

∴BE=BF，∠EBF=90°=∠ABC，

∴∠ABE=∠CBF，

∴△ABE≌△CBF（SAS），

∴∠AEB=∠CFB；

應用：由（2）知，△ABE≌△CBF，∠BFC=∠BEA，

∴CF=AE=1，

∵△BEF是等腰直角三角形，

∴∠BFE=∠BEF=45°，

∴∠AEB=135°，

∴∠BFC=135°，

∴∠CFE=∠BFC-∠BFE=90°，

在Rt△CFE中，CF=1，EF=2，根據勾股定理得， ，

故答案為：．