Question

【題目】如圖是二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分圖像，其中點A（-1,0）是x軸上的一個交點，點C是y軸上的交點．

（1）若過點A的直線l與這個二次函數的圖像的另一個交點為D，與該圖像的對稱軸交于點E，與y軸交于點F，且DE＝EF＝FA．

①求的值；

②設這個二次函數圖像的頂點為P，問：以DF為直徑的圓能否經過點P？若能，請求出此時二次函數的關系式；若不能，請說明理由．

（2）若點C坐標為（0，-1），設S＝a＋b＋c ，求S的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)①；②；（2)

【解析】試題分析：（1）①由A（-1，0），得到OA=1，由DE=EF=FA，得到AO=OM=MN， OC=ND，由OF∥ND，得到，從而得到結論；

②由OA=1，AO=OM=MN，得到OM=MN=1，對稱軸為x=1，從而得到b=-2a，拋物線與x軸的另一個交點為（3，0），得到0=9a-6a+c，得到c=-3a，則y=ax2-2ax-3a，得到OC=ND=3a， OF=a，得到D，F，E，P的坐標，進而得到PE=2a，FE=ED=，

當以DF為直徑的圓能否經過點P時，PE=FE=ED，有2a=，解方程即可得到結論．

（2）由二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）過A（-1，0），C（0，-1），得到c=-1，b=a-1， 故S=2a-2，由a＞0，即可得到結論．

試題解析：解：（1）①∵A（-1，0），∴OA=1．∵DE=EF=FA，∴AO=OM=MN，∴OC=ND．∵OF∥ND，∴ ，∴；

②∵OA=1，AO=OM=MN，∴OM=MN=1，∴對稱軸為x=1，∴ ，∴b=-2a，拋物線與x軸的另一個交點為（3，0），∴0=9a-6a+c，解得：c=-3a，∴y=ax2-2ax-3a，∴OC=ND=3a，∴OF=a，∴D（2，-3a），F（0，-a），E(1，-2a)，P（1，-4a），∴PE=2a，FE=ED=，

當以DF為直徑的圓能否經過點P時，PE=FE=ED，∴2a=，解得： （負數舍去），∴，∴．

（2）∵二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）過A（-1，0），C（0，-1），∴a-b+c=0，c=-1，∴b=a-1，∴S=a+b+c=a+a-1-1=2a-2．∵a＞0，∴S=2a-2＞－2．