Question

【題目】模型介紹：古希臘有一個著名的“將軍飲馬問題”，大致內容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸側的兩個軍營A、B，他總是先去A營，再到河邊飲馬，之后再去B營，如圖①，他時常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？

大數學家海倫曾用軸對稱的方法巧妙的解決了這問題.

如圖②，作B關于直線l的對稱點B′，連接AB′與直線l交于點C，點C就是所求的位置．

請你在下列的閱讀、應用的過程中，完成解答．

（1）理由：如圖③，在直線l上另取任一點C′，連接AC′，BC′，B′C′，

∵直線l是點B，B′的對稱軸，點C，C′在l上，

∴CB=_______，C′B=_______.

∴AC+CB=AC+CB′=_______．

在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′，即AC+CB最小.

歸納小結：

本問題實際是利用軸對稱變換的思想，把A、B在直線的同側問題轉化為在直線的兩側，從而可利用“兩點之間線段最短”，即轉化為“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中C為AB′與l的交點，即A、C、B′三點共線）．

本問題可拓展為“求定直線上一動點與直線外兩定點的距離和的最小值”問題的數學模型．

（2）模型應用

①如圖 ④，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，F是AC上一動點，求EF+FB的最小值.

解決這個問題，可以借助上面的模型，由正方形的對稱性可知，B與D關于直線AC對稱，連接ED交AC于F，則EF+FB的最小值就是線段DE的長度，EF+FB的最小值是_______．

②如圖⑤，已知⊙O的直徑CD為4，∠AOD的度數為60°，點B是弧AD的中點，在直徑CD上找一點P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值是_______；

③如圖⑥，一次函數y=-2x+4的圖象與x，y軸分別交于A，B兩點，點O為坐標原點，點C與點D分別為線段OA，AB的中點，點P為OB上一動點，求PC+PD的最小值，并寫出取得最小值時P點坐標．

Answer 1

【答案】（1）CB'、C'B'、AB'；（2）①；②；③，P（0，1）.

【解析】

（1）根據軸對稱的性質進行分析解答即可；

（2）①由題中所給知識可知，EF+FB的最小值就是DE的長度，這樣由已知條件在Rt△ADE中求出DE的長度即可；②作點B關于CD的對稱點B′，連接OB、OB′，AB′，則線段AB′的長度就是所求的AP+BP的最小值，結合已知條件證得∠AOB′=90°，在Rt△AOB′中求出AB′的長即可；③由已知條件先求出點A、B的坐標，進而求出點C、D的坐標，再求出點C關于y軸的對稱點C′的坐標，連接C′D交y軸于點P，則點P為所求點，C′D的長度為所求的CP+DP的最小值，結合已知條件求出CD的長度和點P的坐標即可.

（1）理由：如圖③，在直線l上另取任一點C′，連接AC′，BC′，B′C′，

∵直線l是點B，B′的對稱軸，點C，C′在l上，

∴CB=CB′，C′B=C′B′.

∴AC+CB=AC+CB′=AB′．

在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，

∴AC+CB＜AC′+C′B′，即此時AC+CB最小，

故答案為：CB'，C'B'，AB'；

（2）①如圖④由題意可知：AE=1，AD=2，∠DAE=90°，

∴在Rt△ADE中，DE=；

②如圖7，作點B關于CD的對稱點B′，連接OB、OB′，AB′，則線段AB′的長度就是所求的AP+BP的最小值，

∵點D是的中點，∠AOD=60°，

∴∠BOD=30°，

∵點B′和點B關于CD對稱，

∴∠BOB′=∠BOD=30°，

∴∠AOB=60°+30°=90°，

∵AO=BO=CD=2，

∴AB′=，即AP+BP的最小值為；

③如圖8，作點C關于y軸的對稱點C′，連接C′D交y軸于P，則PC+PD的最小值就是線段C′D的長度.

∵一次函數y=-2x+4的圖象與x，y軸分別交于A，B兩點，

∴A（2，0），B（0，4），

∵點C和點D分別是OA和AB的中點，

∴C（1，0），D（1，2）.

∵C與C′關于y軸對稱，

∴C′（-1，0），

∴C'D=，

∴PC+PD的最小值為.

∵C'（-1，0），D（1，2），

∴直線C′D的解析式為y=x+1，

∵在y=x+1中，當x=0時，y=1，

∴點P的坐標為（0，1）．