Question

如圖，已知正方形ABCD中，對角線AC、BD交于O點，過O點作OE⊥OF分別交DC于E，交BC于F，∠FEC的角平分線EP交直線AC于P
（1）求證：OE=OF；
（2）寫出線段EF、PC、BC之間的一個等量關系式，并證明你的結論．

Answer 1

（1）證明：∵正方形ABCD中，對角線AC、BD交于O點，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=∠DOC=90°，
∴∠BOF+∠FOP=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠FOE=90°，
∴∠EOC+∠FOP=90°
∴∠BOF=∠EOC，
又∵OB=OC，∠OBF=∠DCE=45°，
∴△BOF≌△COE，
∴OE=OF；

（2）EF+

2

CP=BC，
證明：∵△BOF≌△COE，
∴OE=OF，∠OEF=∠OFE=45°．
∵∠FEC的角平分線EP交直線AC于P，
∴∠FEP=∠CEP．
∴∠OEP=∠OPE．
∴OE=OP．
∴EF=

2

OE=

2

OP，
∵BC=

2

OC=

2

（OP+PC），
∴EF+

2

CP=BC．