Question

【題目】如圖，四邊形中，，，，將繞著點順時針旋轉得 ，連接 ，．

（1）求證：≌；

（2）求證：；

（3）若，點在四邊形內部運動，且滿足，求點運動路徑的長度．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

（1）根據等式的基本性質可得，然后利用SAS即可證出≌；

（2）根據四邊形的內角和和全等三角形的性質可得，從而求出∠CBE=90°，根據勾股定理可得，根據等邊三角形的判定及性質可得，從而證出結論；

（3）如圖，設為滿足條件的點，將繞著點順時針旋轉60度得，連接，，

，，， DB，先利用SAS證出≌，從而得出，∠AQD=∠AFB，然后證出為等邊三角形，△ADB為等邊三角形，從而得出， DB=AB=2，然后根據勾股定理的逆定理可得，根據四點共圓證出點的路徑為過、、三點的圓上，求出圓心角和半徑即可求出點運動路徑的長度．

證明：（1）∵

∴

∴

在和中

∴≌

（2）在四邊形中

∵≌

∴，

∴

∴

∴

又∵，

∴△AEC為等邊三角形

∴

∴

（3）如圖，設為滿足條件的點，將繞著點順時針旋轉60度得，連接，，

，，， DB．

∵

∴

∴

在和中

∴≌

∴，∠AQD=∠AFB，

∵，AQ=AF，∠DAB=60°，AD=AB

∴為等邊三角形，△ADB為等邊三角形

∴， DB=AB=2

∵

∴

∴

∴

∵∠BCD=30°

∴∠DQB＋∠BCD=180°

∴點的路徑為過、、三點的圓上

設圓心為，連接OD、OB

則，

∴△OBD為等邊三角形

∴，

∴點的運動的路徑長為：．