Question

【題目】（1）某學校“智慧方園”數學社團遇到這樣一個題目：

如圖（1），在中，點在線段上，，，，，求的長．經過社團成員討論發現：過點作，交的延長線于點，通過構造就可以解決問題，如圖（2）．請回答：______．

（2）求的長．

（3）請參考以上解決思路，解決問題：如圖（3），在四邊形中，對角線與相交于點，，，，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）75°；（2）；（3）．

【解析】

（1）根據平行線的性質可得出∠ADB=∠OAC=75°；

（2）結合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性質可求出OD的值，進而可得出AD的值，由三角形內角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角對等邊可得出AB的長；

（3）過點B作BE∥AD交AC于點E，同（1）可得出AE的長．在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的長度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的長，此題得解．

（1）∵BD∥AC，

∴∠ADB=∠OAC=75°．

（2）∵∠BOD=∠COA，∠ADB=∠OAC，

∴△BOD∽△COA，

∴．

又∵AO，

∴ODAO，

∴AD=AO+OD=．

∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，

∴∠ABD=180°﹣∠BAD﹣∠ADB=75°=∠ADB，

∴AB=AD=．

（3）過點B作BE∥AD交AC于點E，如圖所示．

∵AC⊥AD，BE∥AD，

∴∠DAC=∠BEA=90°．

∵∠AOD=∠EOB，

∴△AOD∽△EOB，

∴．

∵BO：OD=1：3，

∴．

∵AO=，

∴EO，

∴AE=．

∵∠ABC=∠ACB=75°，

∴∠BAC=30°，AB=AC，

∴AB=2BE．

在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即()2+BE2=(2BE)2，

解得：BE=，

∴AB=AC=，AD=4．

在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即，

解得：CD=．