Question

19．如圖，拋物線y=ax²+bx+c的圖象經過點A（-2，0），點B（4，0），點D（2，4），與y軸交于點C，作直線BC，連接AC、CD．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）E是拋物線上的點，求滿足∠ECD=∠ACO的點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）設拋物線的解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂），再把點代入即可得出解析式；
（2）分兩種情況：①當點E在直線CD的拋物線上方；②當點E在直線CD的拋物線下方；連接CE，過點E作EF⊥CD，再由三角函數得出點E的坐標．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c的圖象經過點A（-2，0），點B（4，0），點D（2，4），
∴設拋物線的解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂），
∴y=a（x+2）（x-4），
∴-8a=4，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+2）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，
（2）①當點E在直線CD的拋物線上方，記E′，連接CE′，過點E′作E′F′⊥CD，垂足為F′，
由（1）得OC=4，
∵∠ACO=∠E′OF′，
∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，
∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{E′F′}{CF′}$=$\frac{1}{2}$，
設線段E′F′=h，則CF′=2h，
∴點E′（2h，h+4），
∵點E′在拋物線上，
∴-$\frac{1}{2}$（2h）²+2h+4=h+4，
∴h₁=0（舍去），h₂=$\frac{1}{2}$，
∴E′（1，$\frac{9}{2}$）；
②當點E在直線CD的拋物線下方；
同①的方法得，E（3，$\frac{5}{2}$），
綜上，點E的坐標為（1，$\frac{9}{2}$），（3，$\frac{5}{2}$）．

點評 本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式，掌握二次函數的解析式三種不同的形式是解題的關鍵．