Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A(a，0)、B(b，0)（a≠0），a、b滿足＋b2＋2bc＋c2=0

(1) 直接寫出a與b的關系

(2) 如圖，將線段AB沿y軸的正方向平移m個單位得到線段PQ，點M在線段PQ上，QM=3MP，過M作MF∥PA交QA于點F，連接BM，BM平分∠PMF．若BM=，求m的值

(3) 如圖，點C在第一象限內，且滿足CA=OA，點E在x軸上，AE=BC，連接CE，取CE的中點N，連接NO．若∠BCA=α，求∠NOC（用含α的代數式表示）

Answer 1

【答案】（1）a+b=0；（2）m=3；（3）∠NOC=90°-0.5ɑ

【解析】

（1）首先由題意，可得出+=0，進而可得出；

（2）首先延長MF交x軸于F，得出MP，又因為MF∥PA，PM∥AH，得出四邊形PMHA為平行四邊形，進而得出AH和BH，又，即，再根據BM平分∠PMF，即，得出，在Rt△PBA中，，即得出

，即，，在Rt△PBM中，，即，將兩個等式聯立即可得出；

（3）首先在OA上取一點F，使得OF=OE，連接CF，由BO=AO，EO=OF，BC=AE，得出BC=BF，進而得出∠BCF=∠BFC，又由N為CE的中點，即EO=OF，得出NO∥CF，進而得出∠NOC=∠OCF，又由∠BFC=∠FCA+∠FAC，∠BCO+∠OCF=∠BCF，得出∠FCA+∠FAC=∠BCO+∠OCF，又∠COA=∠BCO+∠CBO，將兩式聯立，得∠OCF=∠FCA+∠FAC-∠COA+∠CBO，又因為∠FAC+∠CBO=180°-α，得出∠OCF=180°-α-∠COA+∠FCA，又因為∠COA=∠OCF+∠FCA，得出∠OCF=90°-，即∠NOC=90°-.

解：（1）由題意，得

＋b2＋2bc＋c2=0

+=0

∴

∴

（2）延長MF交x軸于F，如圖所示

由題意得，P（b，m），Q（a，m）

又∵QM=3MP，

∴

又∵MF∥PA，PM∥AH

∴四邊形PMHA為平行四邊形

∴，

又，即

BM平分∠PMF，即

∴，即

在Rt△PBA中，，，即①

在Rt△PBM中，，即

②

聯立①②，解得

.

（3）在OA上取一點F，使得OF=OE，連接CF，如圖所示，

∵BO=AO，EO=OF，BC=AE，

∴BC=BF，

∴∠BCF=∠BFC，

又∵N為CE的中點，即EO=OF

∴NO∥CF

∴∠NOC=∠OCF

又∵∠BFC=∠FCA+∠FAC，∠BCO+∠OCF=∠BCF

∴∠FCA+∠FAC=∠BCO+∠OCF①

又∠COA=∠BCO+∠CBO②

①②聯立，得∠OCF=∠FCA+∠FAC-∠COA+∠CBO

∵∠FAC+∠CBO=180°-α

∴∠OCF=180°-α-∠COA+∠FCA

又∵∠COA=∠OCF+∠FCA

∴∠OCF=90°-

即∠NOC=90°-