Question

【題目】某高科技發展公司投資500萬元，成功研制出一種市場需求量較大的高科技替代產品，并投入資金1500萬元進行批量生產，已知生產每件產品的成本為40元．在銷售過程中發現，年銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件；銷售單價每增加10元，年銷售量將減少1萬件，設銷售單價為x（元），年銷售量為y（萬件），年獲利（年獲利=年銷售額－生產成本－投資）為z（萬元）．

（1）試寫出y與x之間的函數關系式（不必寫出x的取值范圍）；

（2）試寫出z與x之間的函數關系式（不必寫出x的取值范圍）；

（3）計算銷售單價為160元時的年獲利，并說明同樣的年獲利，銷售單價還可定為多少元？相應的年銷售量分別為多少萬件？

（4）公司計劃：在第一年按年獲利最大確定的銷售單價，進行銷售；第二年年獲利不低于1130萬元．請你借助函數的大致圖象說明，第二年的銷售單價x（元）應確定在什么范圍內？

Answer 1

【答案】(1) y=－x+30; (2) z=－x2+34x－3200; (3) 14萬件和12萬件;(4)見解析.

【解析】

（1）銷售單價為x元，用x表示出年銷售量和每件產品銷售利潤；

（2）利用每件產品銷售利潤×年銷售量=年獲利列出函數解答；

（3）由題意易得Z與x之間的函數關系，當x=160時則可推出x2-340x+28800=0，解得x的值．再分別把x的兩個值代入y與x的函數關系式即可；

（4）利用配方法求得第一年按獲利最大的銷售單價，求得第二年的年獲利函數，畫出圖象，利用圖象解答即可．

（1）依題意知，當銷售單價定為x元時，年銷售量減少（x-100）萬件．

∴y=20-（x-100）=-x+30．

即y與x之間的函數關系式是：y=-x+30．

（2）由題意，得：z=（30-x）（x-40）-500-1500=-x2+34x-3200．

即z與x之間的函數關系式是：z=-x2+34x-3200．

（3）當x=160時，z=×1602+34×1603200=320，

令320=x2+34x3200，

整理，得x2-340x+28800=0，

由根與系數的關系得x=180，即同樣的年獲利，銷售單價還可以定為180元，

（4）∵z=x2+34x3200= (x170)2310

∴當x=170時，z取最大值，最大值為-310

故第一年的銷售單價定為170元/件，

∴當z=1130時，即1130=x2+34x1510，

整理得x2-340x+26400=0，

解得：x1=120，x2=220．

函數z=-x2+34x-1510的圖象大致如圖所示：

由圖象可以看出：當120≤x≤220時，z≥1130．

故第二年銷售量單價應確定在不低于120元且不高于220元的范圍．