Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C，作直線BC，點P是拋物線上一個動點（點P不與點B，C重合），連結PB，PC，以PB，PC為邊作CPBD，設CPBD的面積為S，點P的橫坐標為m．

（1）求拋物線對應的函數表達式；

（2）當點P在第四象限，且CPBD有兩個頂點在x軸上時，求點P的坐標；

（3）求S與m之間的函數關系式；

（4）當x軸將CPBD的面積分成1：7兩部分時，直接寫出m的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）（2，﹣3）； （3）S=3m2﹣9m；

（4）m的值為1或1+或1﹣．

【解析】試題分析：（1）利用交點式求拋物線的解析式；

（2）先確定點D在x軸上，再利用平行四邊形的性質可判斷PC∥x軸，然后根據拋物線的對稱性確定點P的坐標；

（3）作PQ∥y軸交直線BC于Q，如圖1，利用待定系數法求出直線BC的解析式為y=x-3，設P（m，m2-2m-3），則Q（m，m-3），討論：當0<m<3時，如圖1，PQ=-m2+3m，利用三角形面積公式和平行四邊形的性質得S=2S△PBC=2（S△PQC+S△PQB）=-3m2+9m；當m<0或m>3時，如圖2，PQ=m2-3m，同理可得S=2S△PBC=2（S△PBQ-S△PQC）=3m2-9m；

（4）討論：當點P在x軸下方，如圖3，CD交x軸于E，利用已知條件得到S△DEB：S平行四邊形CPBD=1：8，再根據平行四邊形的性質得S△DEB：S△BCE=1：3，接著根據三角形面積公式得到D點的縱坐標為1，然后利用點平移的坐標規律得到點C向下平移1個單位可得到P點，即P點的縱坐標為-4，則解方程x2-2x-3=-4可得到對應m的值；當點P在x軸上方，如圖4，CP交x軸于E，同理可得點P到x軸的距離為1，即P點的縱坐標為1，則通過解方程x2-2x-3=1可得對應m的值．

解：（1）拋物線的解析式為y=（x+1）（x﹣3），

即y=x2﹣2x﹣3；

（2）∵CPBD有兩個頂點在x軸上，

∴點D在x軸上，

而BD∥PC，

∴點P和點C為拋物線上的對稱點，

而拋物線的對稱軸為直線x=1，

∴點P的坐標為（2，﹣3）；

（3）作PQ∥y軸交直線BC于Q，如圖1，

設直線BC的解析式為y=kx+b，

把C（0，﹣3），B（3，0）代入得，解得，

∴直線BC的解析式為y=x﹣3，

設P（m，m2﹣2m﹣3），則Q（m，m﹣3），

當0＜m＜3時，如圖1，PQ=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m

S=2S△PBC=2（S△PQC+S△PQB）=23（﹣m2+3m）=﹣3m2+9m；

當m＜0或m＞3時，如圖2，PQ=m2﹣2m﹣3﹣（m﹣3）=m2﹣3m

S=2S△PBC=2（S△PBQ﹣S△PQC）=23（m2﹣3m）=3m2﹣9m；

（4）當點P在x軸下方，如圖3，CD交x軸于E，

∵x軸將CPBD的面積分成1：7兩部分，

∴S△DEB：S平行四邊形CPBD=1：8，

∴S△DEB：S△BCD=1：4，

∴S△DEB：S△BCE=1：3，

而OC=3，

∴點D到x軸的距離為1，即D點的縱坐標為1，

∵四邊形CPBD為平行四邊形，

∴點C向下平移1個單位可得到P點，即P點的縱坐標為﹣4，

當x=﹣4時，x2﹣2x﹣3=﹣4，解得x1=x2=1，則P點坐標為（1，﹣4），

∴m=1；

當點P在x軸上方，如圖4，CP交x軸于E，

∵x軸將CPBD的面積分成1：7兩部分，

∴S△PEB：S平行四邊形CPBD=1：8，

∴S△PEB：S△BCP=1：4，

∴S△PEB：S△BCE=1：3，

而OC=3，

∴點P到x軸的距離為1，即P點的縱坐標為1，

當y=1時，x2﹣2x﹣3=1，解得x1=1+，x2=1﹣，則P點坐標為（1+，1）或（1﹣，1），

∴m=1+或m=1﹣，

綜上所述，m的值為1或1+或1﹣．