Question

【題目】如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直線l經過點A，過B、C兩點分別作直線l的垂線段，垂足分別為D、E．

（1）如圖1，△ABD與與△CAE全等嗎？請說明理由；

（2）如圖1，BD=DE+CE成立嗎？為什么？

（3）若直線AE繞A點旋轉到如圖2位置時，其它條件不變，BD與DE、CE關系如何？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）△ABD≌△CAE；（2）成立；（3）DE=BD+CE．

【解析】

（1）根據已知條件易證得∠BAD=∠ACE，且根據全等三角形的判定可證明△ABD≌△CAE；

（2）根據全等三角形的性質及各線段的關系即可得結論．

（3）DE=BD+CE．根據全等三角形的判定可證明△ABD≌△CAE，根據各線段的關系即可得結論．

（1）△ABD≌△CAE，理由如下：

∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．

∵CE⊥AE，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ACE=∠BAD；

又∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB=∠CEA=90°．

在△ABD和△CAE中，∵∠BAD=∠ACE，∠ADB=∠CEA，AB=CA，∴△ABD≌△CAE（AAS）；

（2）成立，理由如下：

∵△ABD≌△CAE，∴BD=AE，AD=CE；

∵AE=DE+AD，∴BD=DE+CE；

（3）DE=BD+CE．理由如下：

∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．

∵CE⊥AE，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ACE=∠BAD；

又∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB=∠CEA=90°．

在△ABD和△CAE中，∵∠BAD=∠ACE，∠ADB=∠CEA，AB=CA，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，AD=CE；

∵DE=AE+AD，∴DE=BD+CE．