Question

【題目】“如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，則△ACD與△CBD相似嗎？”于是，學生甲發現CD2=AD·BD也成立．

問題1：請你證明CD2=AD·BD；

學生乙從CD2=AD·BD中得出：可以畫出兩條已知線段的比例中項．

問題2：已知兩條線段AB、BC在x軸上，如圖2：請你用直尺（無刻度）和圓規作出這兩條線段的比例中項．要求保留作圖痕跡，不要寫作法，最后指出所要作的線段．

學生丙也從CD2=AD·BD中悟出了矩形與正方形的等積作法．

問題3：如圖3，已知矩形ABCD，請你用直尺（無刻度）和圓規作出一個正方形BMNP，使得S正方形BMNP=S矩形ABCD．要求：保留作圖痕跡；簡要寫出作圖每個步驟的要點．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2）作圖見解析,CD為所要畫的線段;（3）過程見解析.

【解析】試題分析：問題1：只要證明△ACD∽△CBD，可得，即可證明；

問題2：如圖2中，作AC的中點K，以K為圓心KA為半徑作⊙K交y軸正半軸于D．線段BD為所要畫的線段；

問題3：①延長AB至E，使得BE=BC；②以AE為直徑，畫半圓O，與BC的延長線相交于M③以BM為邊做正方形BMNP．正方形BMNP即為所求；

試題解析：問題1:證明：如圖1中，

∵CD⊥AB，∠ACB=90°，

∴∠ADC=∠CDB=90°，

∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，

∴∠ACD=∠B，

∴△ACD∽△CBD，

∴，

∴CD2=ADBD.

問題2:如圖2中，作AC的中點K，以K為圓心KA為半徑作⊙K交y軸正半軸于D.

線段BD為所要畫的線段。

問題3:①延長AB至E，使得BE=BC；

②以AE為直徑，畫半圓O，與BC的延長線相交于M

③以BM為邊做正方形BMNP.

正方形BMNP即為所求。