Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，半徑OC⊥AB于O，AD平分∠CAB交于點D，連接CD，OD，BD．下列結論中正確的是（ ）

A.AC∥ODB.

C.△ODE∽△ADOD.

Answer 1

【答案】A

【解析】

A.根據等腰三角形的性質和角平分線的性質，利用等量代換求證∠CAD=∠ADO即可；
B.過點E作EF⊥AC，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得OE=EF，再根據直角三角形斜邊大于直角邊可證；
C.兩三角形中，只有一個公共角的度數相等，其它兩角不相等，所以不能證明③△ODE∽△ADO；
D.根據角平分線的性質得出∠CAD=∠BAD，根據在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弦相等，可得CD=BD，又因為CD+BD>BC,又由AC=BC可得AC<2CD，從而可判斷D錯誤．

解：解：A.∵AB是半圓直徑，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠CAD=∠DAO= ∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴A正確．
B.如圖，過點E作EF⊥AC，

∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴OE=EF，
在Rt△EFC中，CE＞EF，
∴CE＞OE，
∴B錯誤．
C.∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO=∠EDO，
∵∠COD=2∠CAD=2∠OAD，
∴∠DOE≠∠DAO，
∴不能證明△ODE和△ADO相似，
∴C錯誤；

D.∵AD平分∠CAB交于點D，

∴∠CAD=∠BAD.

∴CD=BD

∴BC<CD+BD=2CD,

∵半徑OC⊥AB于O，

∴AC=BC,

∴AC<2CD，

∴D錯誤.

故選A.