Question

【題目】如圖，已知是的直徑，切于點，過作直線交于另一點，連接、．

（1）求證：平分；

（2）若是直徑上方半圓弧上一動點，的半徑為2，則

①當弦的長是 時，以，，，為頂點的四邊形是正方形；

②當的長度是 時，以，，，為頂點的四邊形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②或．

【解析】

（1）首先根據切線的性質得出，進而判定，利用平行的性質進行等角轉換，即可得出平分；

（2）①根據題意由圓的性質和正方形的性質，求解即可；

②當，，，為頂點的四邊形是菱形時，分兩種情況求解：當時和當時，根據弧長公式求解即可.

（1）∵切于點，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴平分；

（2）①當，四邊形為矩形，而，此時矩形為正方形，；

②當時，四邊形為菱形，和為等邊三角形，則，的長度．

當時，四邊形為菱形，和為等邊三角形，則，的長度．

故答案為，或．