Question

如圖，在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，∠ABC的平分線交AD于點F，E為BC的中點，連接EF．
（1）求BF的長度；
（2）求證：四邊形ABEF是正方形；
（3）設點P是線段BF上的一個動點，點N是矩形ABCD的對稱中心，是否存在點P，使∠APN=90°？若存在，請直接寫出BP的長度；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據矩形的四個角都是直角以及角平分線的定義可得∠ABF=∠EBF=45°，從而判定△ABF是等腰直角三角形，然后利用勾股定理求解即可；
（2）先求出BE的長度，然后判定四邊形ABEF是矩形，再根據鄰邊相等的矩形是正方形證明即可；
（3）根據矩形的性質可得點N是EF的中點，從而求出NE的長度，過點P作BC的平行線交AB于G，交EF于H，根據∠ABF=45°可得BG=PG=EH，再設BG=x，然后表示出AG、PG、PH、HN，再根據∠APN=90°利用同角的余角相等求出∠PAG=∠NPH，然后證明△APG和△PNH相似，根據相似三角形對應邊成比例列出比例式求出x的值，再利用勾股定理求解即可．

解答：（1）解：在矩形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，
∵BF是∠ABC的平分線，
∴∠ABF=∠EBF=45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∵AB=1，
∴BF=

AB2+AF2

=

12+12

=

2

；

（2）證明：∵BC=2，E為BC的中點，
∴BE=

1

2

BC=

1

2

×2=1，
∴AF=BE，
又∵在矩形ABCD中，AF∥BE，∠A=∠ABC=90°，
∴四邊形ABEF是矩形，
∵AB=BE=1，
∴四邊形ABEF是正方形（鄰邊相等的矩形是正方形）；

（3）存在．理由如下：
∵矩形ABCD的AB=1，BC=2，AF=BE=1，
∴矩形的中心在EF上，且是EF的中點，
∴NE=

1

2

EF=

1

2

，
過點P作BC的平行線交AB于G，交EF于H，
∵∠ABF=∠EBF=45°，
∴BG=PG=EH，
設BG=x，則AG=1-x，PG=x，PH=1-x，NH=

1

2

-x，
∵∠APN=90°，
∴∠APG+∠NPH=180°-90°=90°，
又∵∠APG+∠PAG=90°，
∴∠PAG=∠NPH，
又∵∠AGP=∠PHN=90°，
∴△APG∽△PNH，
∴

AG

PH

=

PG

NH

，
即

1-x

1-x

=

x

1 2 -x

，
解得x=

1

4

，
所以，BP=

BG2+PG2

=

( 1 4 )2+( 1 4 )2

=

2

4

．

點評：本題考查了矩形的性質，正方形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理的應用，以及相似三角形的判定與性質，（3）作出輔助線，構造出相似三角形是解題的關鍵．