Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，DF⊥AB于點D，交弦AC于點E，FC=FE．
（1）求證：FC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，cos∠ECF= ，求弦AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC．

∵FC=FE（已知），

∴∠FCE=∠FEC（等邊對等角）；

又∵∠AED=∠FEC（對頂角相等），

∴∠FCE=∠AED（等量代換）；

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA（等邊對等角）；

∴∠FCE+∠OCA=∠AED+∠OAC；

∵DF⊥AB，

∴∠ADE=90°，

∴∠FCE+∠OCA=90°，即FC⊥OC，

∴FC是⊙O的切線

（2）解：連接BC．

∵AB是⊙O的直徑，⊙O的半徑為5，

∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角），AB=2OA=10，

∴∠A+∠ABC=90°．

∵DF⊥AB，

∴∠A+∠AED=90°，

∴∠A+∠ABC=∠A+∠AED，即∠ABC=∠AED；

由（1）知，∠AED=∠FEC=∠ECF，

∴BC=ABcos∠ABC=ABcos∠ECF=10× =4，

∴AC= = =2 ．

【解析】（1）連接OC．欲證FC是⊙O的切線，只需證明FC⊥OC即可；（2）連接BC．利用（1）中的∠AED=∠FEC=∠ECF、圓周角定理求得BC=ABcos∠ABC=ABcos∠ECF=10× =4；然后在直角三角形ABC中利用勾股定理求得AC的長度即可．
【考點精析】掌握勾股定理的概念和圓周角定理是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．