Question

已知：二次函數的圖象與x軸交于點A，B（A點在B點的左側），與y軸交于點C，△ABC的面積為12．

（1）①填空：二次函數圖象的對稱軸為    ；

      ②求二次函數的解析式；

（2） 點D的坐標為（－2，1），點P在二次函數圖象上，∠ADP為銳角，且，求點P的橫坐標；

（3）點E在x軸的正半軸上，，點O與點關于EC所在直線對稱．作⊥于點N，交EC于點M．若EM·EC＝32，求點E的坐標．

Answer 1

解：（1）①該二次函數圖象的對稱軸為直線；

②∵ 當x=0時，y=－4，

∴ 點C的坐標為．

∵ ＝12，

∴ AB=6．

又∵點A，B關于直線對稱，

∴ A點和B點的坐標分別為，．

∴ ．解得  ．

∴ 所求二次函數的解析式為．

   （2）如圖，作DF⊥x軸于點F．分兩種情況：

(ⅰ)當點P在直線AD的下方時，如圖所示．

由（1）得點A，點D，

∴ DF=1，AF=2．

在Rt△ADF中，，得．

延長DF與拋物線交于點P₁，則P₁點為所求．

∴ 點P₁的坐標為．

(ⅱ)當點P在直線AD的上方時，延長P₁A至點G使得AG=AP₁，連接DG，作GH⊥x軸于點H，如圖所示．

可證 △GHA≌△．

∴ HA =AF，GH = P₁ F，GA =P₁A．

又∵ ，，

∴ 點的坐標是．

在△ADP₁中，

，DP₁＝５，

，

∴ ．

∴ ．

∴ DA⊥．

∴ ．

∴ ．

∴ ．

設DG與拋物線的交點為P₂，則P₂點為所求．

作DK⊥GH于點K，作P₂S∥GK交DK于點S．

設P₂點的坐標為，

則，．

由，，，得．

整理，得 ．

解得．

∵ P₂點在第二象限，

∴ P₂點的橫坐標為（舍正）．

綜上，P點的橫坐標為－2或．

（3）如圖，連接O，交CE于T．連接C．

∵ 點O與點關于EC所在直線對稱，

∴ O⊥CE，CE，∠CE ．

∴ C⊥E．

∵ ON⊥E，

∴ C∥N．

∴ C E ．

∴ ．

∴ ．

∵ 在Rt△ETO中，，，

在Rt△中，，，

∴ ．

∴

．

同理 ．

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∵ 點E在x軸的正半軸上，

∴ E點的坐標為)．