Question

請閱讀下列材料：

已知：如圖（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB = AC，點D、E分別為線段BC上兩動點，若∠DAE=45°.探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數量關系.小明的思路是：把△AEC繞點A順時針旋轉90°，得到△ABE′，連結E′D，使問題得到解決.請你參考小明的思路探究并解決下列問題：

（1）猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數量關系式，并對你的猜想給予證明；                     

（2）當動點E在線段BC上，動點D運動在線段CB延長線上時，如圖（2），其它條件 不變，（1）中探究的結論是否發生改變？請說明你的猜想并給予證明.

                                                             

 圖（2）

Answer 1

（1） DE²=BD²+EC²        

   證明：根據△AEC繞點A順時

       針旋轉90°得到△ABE^’            

     ∴  △AEC≌△ABE^’

     ∴  BE^’=EC, A E^’=AE

       ∠C=∠AB E^’ , ∠EAC=∠E’AB

         在Rt△ABC中

     ∵  AB=AC

     ∴  ∠ABC=∠ACB=45°

     ∴  ∠ABC＋∠AB E^’=90°

即  ∠E’BD=90°

∴   E’B²＋BD²= E’D²

   又∵  ∠DAE=45°

     ∴  ∠BAD＋∠EAC=45°

     ∴  ∠E’AB＋∠BAD=45°

      即  ∠E’AD=45°

     ∴  △A E’D≌△AED

     ∴  DE=D E^’

     ∴  DE²=BD²+EC²  

 

（2）關系式DE²=BD²+EC²仍然成立

證明：將△ADB沿直線AD對折，

得△AFD，連FE

∴  △AFD≌△ABD                        

∴AF=AB，FD=DB

∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD

又∵AB=AC，∴AF=AC

∵∠FAE=∠FAD＋∠DAE=∠FAD＋45°

   ∠EAC=∠BAC－∠BAE=90°－(∠DAE－∠DAB)= 45°＋∠DAB

∴ ∠FAE=∠EAC

又∵  AE=AE

∴△AFE≌△ACE

∴ FE=EC  , ∠AFE=∠ACE=45°

   ∠AFD=∠ABD=180°－∠ABC=135°

∴  ∠DFE=∠AFD－∠AFE=135°－45°=90°  

∴在Rt△DFE中

DF²＋FE²=DE²

即DE²=BD²+EC²