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請閱讀下列材料：已知方程x²+x-3=0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．
解：設所求方程的根為y，則y=2x．
所以x= $數學公式$ ．
把x= $數學公式$ 代入已知方程，得（ $數學公式$ ）²+ $數學公式$ -3=0，化簡，得y²+2y-12=0．
故所求方程為y²+2y-12=0．
這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．
問題：已知方程x²+x-1=0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的3倍．

解：設所求方程的根為y，則y=3x，
所以x= $\text{[math]}$ ．
把x= $\text{[math]}$ 代入已知方程，得
（ $\text{[math]}$ ）2+ $\text{[math]}$ -1=0，
化簡，得y²+3y-9=0，
故所求方程為y²+3y-9=0．
分析：根據所給的材料，設所求方程的根為y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程．
點評：本題主要考查了一元二次方程的解．本題是一道材料題，是一種新型問題，解題時，要提取材料中的關鍵性信息．

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25、請閱讀下列材料：
已知：如圖1在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E分別為線段BC上兩動點，若∠DAE=45度．探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數量關系．
小明的思路是：把△AEC繞點A順時針旋轉90°，得到△ABE′，連接E′D，使問題得到解決．請你參考小明的思路探究并解決下列問題：
（1）猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數量關系式，并對你的猜想給予證明；
（2）當動點E在線段BC上，動點D運動在線段CB延長線上時，如圖2，其它條件不變，（1）中探究的結論是否發生改變？請說明你的猜想并給予證明．

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11、請閱讀下列材料：
已知：如圖（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E分別為線段BC上兩動點，若∠DAE=45°．探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數量關系．小明的思路是：把△AEC繞點A順時針旋轉90°，得到△ABE′，連接E′D，使問題得到解決．請你參考小明的思路探究并解決下列問題：
（1）猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數量關系式，直接寫出你的猜想；
（2）當動點E在線段BC上，動點D運動在線段CB延長線上時，如圖（2），其它條件不變，（1）中探究的結論是否發生改變？請說明你的猜想并給予證明；
（3）已知：如圖（3），等邊三角形ABC中，點D、E在邊AB上，且∠DCE=30°，請你找出一個條件，使線段DE、AD、EB能構成一個等腰三角形，并求出此時等腰三角形頂角的度數．

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解：設所求方程的根為y，則y=2x．
所以x=

．
把x=

代入已知方程，得（

）²+

-3=0，化簡，得y²+2y-12=0．
故所求方程為y²+2y-12=0．
這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．
問題：已知方程x²+x-1=0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的3倍．

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科目：初中數學 來源： 題型：解答題

請閱讀下列材料：
已知：如圖1在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E分別為線段BC上兩動點，若∠DAE=45度．探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數量關系．
小明的思路是：把△AEC繞點A順時針旋轉90°，得到△ABE′，連接E′D，使問題得到解決．請你參考小明的思路探究并解決下列問題：
（1）猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數量關系式，并對你的猜想給予證明；
（2）當動點E在線段BC上，動點D運動在線段CB延長線上時，如圖2，其它條件不變，（1）中探究的結論是否發生改變？請說明你的猜想并給予證明．

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已知：如圖（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB = AC，點D、E分別為線段BC上兩動點，若∠DAE=45°.探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數量關系.小明的思路是：把△AEC繞點A順時針旋轉90°，得到△ABE′，連結E′D，使問題得到解決.請你參考小明的思路探究并解決下列問題：

（1）猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數量關系式，并對你的猜想給予證明；

（2）當動點E在線段BC上，動點D運動在線段CB延長線上時，如圖（2），其它條件不變，（1）中探究的結論是否發生改變？請說明你的猜想并給予證明.

圖（2）

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