Question

11、請閱讀下列材料：
已知：如圖（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E分別為線段BC上兩動點，若∠DAE=45°．探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數量關系．小明的思路是：把△AEC繞點A順時針旋轉90°，得到△ABE′，連接E′D，使問題得到解決．請你參考小明的思路探究并解決下列問題：
（1）猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數量關系式，直接寫出你的猜想；
（2）當動點E在線段BC上，動點D運動在線段CB延長線上時，如圖（2），其它條件不變，（1）中探究的結論是否發生改變？請說明你的猜想并給予證明；
（3）已知：如圖（3），等邊三角形ABC中，點D、E在邊AB上，且∠DCE=30°，請你找出一個條件，使線段DE、AD、EB能構成一個等腰三角形，并求出此時等腰三角形頂角的度數．

Answer 1

分析：（1）DE²=BD²+EC²，將△ADB沿直線AD對折，得△AFD，連FE，容易證明△AFD≌△ABD，然后可以得到AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，再利用已知條件可以證明△AFE≌△ACE，從而可以得到∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°，根據勾股定理即可證明猜想的結論；
（2）根據（1）的思路一樣可以解決問題；
（3）當AD=BE時，線段DE、AD、EB能構成一個等腰三角形．如圖，與（1）類似，以CE為一邊，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，然后可以得到AD=DF，EF=BE．由此可以得到∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°，這樣就可以解決問題．

解答：解：（1）DE²=BD²+EC²；

（2）關系式DE²=BD²+EC²仍然成立．
證明：將△ADB沿直線AD對折，得△AFD，連FE
∴△AFD≌△ABD，
∴AF=AB，FD=DB，
∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，
又∵AB=AC，
∴AF=AC，
∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，
∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB）=45°+∠DAB，
∴∠FAE=∠EAC，
又∵AE=AE，
∴△AFE≌△ACE，
∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°，∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°，
∴在Rt△DFE中，DF²+FE²=DE²，
即DE²=BD²+EC²；

（2）當AD=BE時，線段DE、AD、EB能構成一個等腰三角形．
如圖，與（1）類似，以CE為一邊，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，
可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．
∴AD=DF，EF=BE．
∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°．
若使△DFE為等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE，
∴當AD=BE時，線段DE、AD、EB能構成一個等腰三角形，且頂角∠DFE為120°．

點評：此題比較復雜，考查了全等三角形的性質與判定、等腰三角形的性質、勾股定理的應用等知識點，此題關鍵是正確找出輔助線，通過輔助線構造全等三角形解決問題，要掌握輔助線的作圖根據．