Question

【題目】我們定義：把叫做函數的伴隨函數．比如：就是的伴隨函數．數形結合是學習函數的一種重要方法，對于二次函數（的常數），若點在函數的圖像上，則點（，）也在其圖像上，即從數的角度可以知道它的圖像關于軸對稱．解答下列問題：

（1）的圖像關于 軸對稱；

（2）①直接寫出函數的伴隨函數的表達式 ；

②在如圖①所示的平面直角坐標系中畫出的伴隨函數的大致圖像；

（3）若直線與的伴隨函數圖像交于、兩點（點A在點B的上方），連接、，且△ABO的面積為12，求的值；

（4）若直線（不平行于y軸）與（的常數）的伴隨函數圖像交于、兩點（點、分別在第一、四象限），且，試問、兩點的縱坐標的積是否為常數？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）關于軸對稱；（2）①；②詳見解析；（3）；（4）、兩點的縱坐標之積為常數，理由見詳解．

【解析】

（1）根據特點，即可求出的圖像關于軸對稱；

（2）根據伴隨函數的定義，可以寫出答案；

（3）先求出直線與軸于點，解方程組，用含k的式子表示y1,y2，進而表示出，根據△ABO的面積為12，求出，即可求出k；

（4）設、，分別過作軸，軸，垂足分別為，可證得，，用A、B的坐標表示出來，結合的伴隨函數關系式，得到、兩點的縱坐標的積為，問題得解．

解：（1設在的圖像上，則函數圖像上，所以的圖像關于 關于軸對稱；

（2）① ②圖像如圖：

（3）∵∴當時，

∴直線交軸于點∴

設，，據題意有

∴∴

∴又∵

∴

∴∴

（4）、兩點的縱坐標之積為常數

∵點均在圖像上，且、分別在第一、四象限

∴可設、

分別過作軸，軸，垂足分別為

又∵∴

∴∴

∴∴

∴

∵為常數∴兩點的縱坐標之積為常數．