Question

【題目】（1）如圖1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB，CD于點E，F，GH分別交AD，BC于點G，H，求證：＝．

（2）如圖2，在滿足（1）的條件下，又AM⊥BN，點M，N分別在邊BC，CD上，若，則的值為　 　．

（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝12，BC＝CD＝4，AM⊥DN，點M，N分別在邊BC，AB上，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）過點A作AP∥EF，交CD于P，過點B作BQ∥GH，交AD于Q，如圖1，易證AP=EF，GH=BQ，△PDA∽△QAB，然后運用相似三角形的性質就可解決問題；
（2）只需運用（1）中的結論，就可得到，就可解決問題；
（3）過點D作平行于AB的直線，交過點A平行于BC的直線于R，交BC的延長線于S，如圖3，易證四邊形ABSR是矩形，由（1）中的結論可得．設SC=x，DS=y，則AR=BS=4+x，RD=12-y，在Rt△CSD中根據勾股定理可得x2+y2=16①，在Rt△ARD中根據勾股定理可得（4+x）2+（12-y）2=144②，解①②就可求出x，即可得到AR，問題得以解決．

解：（1）過點A作AP∥EF，交CD于P，過點B作BQ∥GH，交AD于Q，如圖1，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，AD∥BC．

∴四邊形AEFP、四邊形BHGQ都是平行四邊形，

∴AP＝EF，GH＝BQ．

又∵GH⊥EF，

∴AP⊥BQ，

∴∠QAT+∠AQT＝90°．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝∠D＝90°，

∴∠DAP+∠DPA＝90°，

∴∠AQT＝∠DPA．

∴△PDA∽△QAB，

∴，

∴＝．

（2）如圖2，

∵EF⊥GH，AM⊥BN，

∴由（1）中的結論可得＝，＝；

∴，

故答案為；

（3）過點D作平行于AB的直線，交過點A平行于BC的直線于R，交BC的延長線于S，如圖3，

則四邊形ABSR是平行四邊形．

∵∠ABC＝90°，

∴平行四邊形ABSR是矩形，

∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝12，AR＝BS．

∵AM⊥DN，

∴由（1）中的結論可得 ．

設SC＝x，DS＝y，則AR＝BS＝4+x，RD＝12﹣y，

∴在Rt△CSD中，x2+y2＝16①，

在Rt△ARD中，（4+x）2+（12﹣y）2＝144②，

由②﹣①得x＝3y﹣4③，

解方程組 ，得（舍去），或 ，

∴AR＝4+x＝

∴.