Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，直線MN經過點C，過點A作直線MN的垂線，垂足為點D，且∠BAC=∠DAC．
（1）猜想直線MN與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若CD=6，cos∠ACD= ，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線MN與⊙O的位置關系是相切，

理由是：連接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠CAB=∠DAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴OC∥AD，

∵AD⊥MN，

∴OC⊥MN，

∵OC為半徑，

∴MN是⊙O切線

（2）解：∵CD=6，cos∠ACD= = ，

∴AC= =10，由勾股定理得：AD=8，

∵AB是⊙O直徑，AD⊥MN，

∴∠ACB=∠ADC=90°，

∵∠DAC=∠BAC，

∴△ADC∽△ACB，

∴ = ，

∴ = ，

∴AB=12.5，

∴⊙O半徑是 ×12.5=6.25

【解析】（1）連接OC，推出AD∥OC，推出OC⊥MN，根據切線的判定推出即可；（2）求出AD、AB長，證△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB長即可．
【考點精析】關于本題考查的切線的判定定理和解直角三角形，需要了解切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)才能得出正確答案．