Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+x+4的對稱軸是直線x=3，且與x軸相交于A，B兩點（B點在A點右側）與y軸交于C點．

（1）求拋物線的解析式和A、B兩點的坐標；

（2）若點P是拋物線上B、C兩點之間的一個動點（不與B、C重合），則是否存在一點P，使△PBC的面積最大．若存在，請求出△PBC的最大面積；若不存在，試說明理由；

（3）若M是拋物線上任意一點，過點M作y軸的平行線，交直線BC于點N，當MN=3時，求M點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）．點的坐標為，點的坐標為；（2）存在點，使的面積最大，最大面積是．（3）點的坐標為、、或．

【解析】

（1）由拋物線的對稱軸為直線x=3，利用二次函數的性質即可求出a值，進而可得出拋物線的解析式，再利用二次函數圖象上點的坐標特征，即可求出點A、B的坐標；

（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，由點B、C的坐標，利用待定系數法即可求出直線BC的解析式，假設存在，設點P的坐標為（x，-x2+x+4），過點P作PD∥y軸，交直線BC于點D，則點D的坐標為（x，-x+4），PD=-x2+2x，利用三角形的面積公式即可得出S△PBC關于x的函數關系式，再利用二次函數的性質即可解決最值問題；

（3）設點M的坐標為（m，-m2+m+4），則點N的坐標為（m，-m+4），進而可得出MN=|-m2+2m|，結合MN=3即可得出關于m的含絕對值符號的一元二次方程，解之即可得出結論．

（1）拋物線的對稱軸是直線，

∴，解得：，

∴拋物線的解析式為．

當時，，

解得：，，

∴點的坐標為，點的坐標為．

（2）當時，，

∴點的坐標為．

設直線的解析式為．

將、代入，

，解得：，

∴直線的解析式為．

假設存在，設點的坐標為，過點作軸，交直線于點，則點的坐標為，如圖所示．

∴，

∴．

∵，

∴當時，的面積最大，最大面積是．

∵，

∴存在點，使的面積最大，最大面積是．

（3）設點的坐標為，則點的坐標為，

∴．

又∵，

∴．

當時，有，

解得：，，

∴點的坐標為或；

當或時，有，

解得：，，

∴點的坐標為或．

綜上所述：點的坐標為、、或．