Question

【題目】如圖，直線與軸，軸分別交于兩點，動點在線段上移動（與不重合），以為頂點作交軸于點．

（1）求點和點的坐標；

（2）求證：．

（3）是否存在點使得是等腰三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）存在，或

【解析】

（1）令x=0，即可得到點A坐標，令y=0，即可得到點B坐標；

（2）由（1）可知△AOB是等腰直角三角形，再根據三角形的外角的性質即可得到∠OPQ+∠BPQ=∠AOP+∠OAP，結合即可證明；

（3）分兩種情況討論，①如圖1，當∠OPQ=45°為底角時，得到∠PQO=90°，PQ=OQ，設P（a,a），代入y=-x+1中即可求出P的坐標；②如圖2，當∠OPQ=45°為頂角時，根據（2）中結論證明△OAP≌△PBQ（AAS），得到AO=BP=1，利用銳角三角形函數求出PM，OM即可解答．

解：（1）對于y=-x+1，

當x=0時，y=1，當y=0時，x=1，

∴

（2）∵，

∴OA=OB=1，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠OAB=∠OBA=45°，

∵∠OPB是△AOP的外角，

∴∠OPB=∠AOP+∠OAP，即∠OPQ+∠BPQ=∠AOP+∠OAP，

又∵，

∴；

（3）存在，

①如圖1，當∠OPQ=45°為底角時，

則∠OPQ=∠POQ=45°，

∴∠PQO=90°，PQ=OQ，

設P（a,a），代入y=-x+1中得，a=-a+1，解得：，

∴

②如圖2，當∠OPQ=45°為頂角時，過點P作PM⊥OB于點M，

則OP=PQ，

又∵∠OAP=∠PBQ=45°，∠AOP=∠BPQ，

∴△OAP≌△PBQ（AAS），

∴AO=BP=1，

∵∠PBM=45°，∠PMB=90°，

∴PM=BM=，

∴OM=，

∴P

綜上所述，點P的坐標為或．