Question

【題目】如圖，是的直徑，是圓上一點，弦于點，且．過點作的切線，過點作的平行線，兩直線交于點，的延長線交的延長線于點．

（1）求證：與相切；

（2）連接，若的半徑為4，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接，首先根據垂徑定理及證明為等邊三角形，則有，進而可得出，再利用平行線的性質和，證明，從而結論可證；

（2）作于點，首先證明四邊形為菱形，則有，，再利用平行線的性質進一步得出，然后利用特殊角的三角函數值求出EC,CF的長度，從而可求EH,FH,最后利用勾股定理求EF的長度即可．

（1）證明：如圖，連接，

∵是的直徑，弦于點，

∴．

∵，

∴，

∴為等邊三角形，

∴，

∴．

，

，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴與相切．

（2）解：如圖，作于點，

∵與相切，

∴．

又∵，

∴，

又∵，

∴四邊形為平行四邊形，

∵，

∴四邊形為菱形，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∵在中，，

∴．