Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中點，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，連接DE．

(1)求證：DE是⊙O的切線；

(2)若CD＝6cm，DE＝5cm，求⊙O直徑的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】

(1)連結DO，如圖，根據直角三角形斜邊上的中線性質，由∠BDC＝90°，E為BC的中點得到DE＝CE＝BE，則利用等腰三角形的性質得∠EDC＝∠ECD，∠ODC＝∠OCD，由于∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，于是根據切線的判定定理即可得到DE與⊙O相切；

(2)根據勾股定理和相似三角形的性質即可得到結論．

(1)證明：連結DO，如圖，

∵∠BDC＝90°，E為BC的中點，

∴DE＝CE＝BE，

∴∠EDC＝∠ECD，

又∵OD＝OC，

∴∠ODC＝∠OCD，

而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，

∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，

∴DE⊥OD，

∴DE與⊙O相切；

(2)BC=2DE=10

BD＝8，

∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，

∴△BCA∽△BDC，

∴AC＝，

∴⊙O直徑的長為．