Question

【題目】已知拋物線y＝x2+（2n﹣1）x+n2﹣1（n為常數）．

（1）當該拋物線經過坐標原點，并且頂點在第四象限時，求出它所對應的函數關系式；

（2）設A是（1）所確定的拋物線上位于x軸下方、且在對稱軸左側的一個動點，過A作x軸的平行線，交拋物線于另一點D，再作AB⊥x軸于B，DC⊥x軸于C．

①當BC＝1時，求矩形ABCD的周長；

②試問矩形ABCD的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值，并指出此時A點的坐標．如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣3x；（2）①矩形ABCD的周長為6，②當x＝時，矩形ABCD的周長C最大值為，此時點A的坐標為A（，）．

【解析】

（1）將原點坐標代入拋物線的解析式中，即可求出n的值，然后根據拋物線頂點在第四象限將不合題意的n值舍去，即可得出所求的二次函數解析式；

（2）①先根據拋物線的解析式求出拋物線與x軸另一交點E的坐標，根據拋物線和矩形的對稱性可知：OB的長，就是OE與BC的差的一半，由此可求出OB的長，即B點的坐標，然后代入拋物線的解析式中即可求出B點縱坐標，也就得出了矩形AB邊的長．進而可求出矩形的周長；②思路同①可設出A點坐標（設橫坐標，根據拋物線的解析式表示縱坐標），也就能表示出B點的坐標，即可得出OB的長，同①可得出BC的長，而AB的長就是A點縱坐標的絕對值，由此可得出一個關于矩形周長和A點縱坐標的函數關系式，根據二次函數的性質可得出矩形周長的最大值及對應的A的坐標．

（1）由已知條件，得n2﹣1＝0

解這個方程，得n1＝1，n2＝﹣1

當n＝1時，得y＝x2+x，此拋物線的頂點不在第四象限．

當n＝﹣1時，得y＝x2﹣3x，此拋物線的頂點在第四象限．

∴所求的函數關系式為y＝x2﹣3x；

（2）由y＝x2﹣3x，

令y＝0，得x2﹣3x＝0，

解得x1＝0，x2＝3

∴拋物線與x軸的另一個交點為E（3，0）

∴它的頂點為，對稱軸為直線，其大致位置如圖所示，

①∵BC＝1，易知OB＝×（3﹣1）＝1．

∴B（1，0）

∴點A的橫坐標x＝1，又點A在拋物線y＝x2﹣3x上，

∴點A的縱坐標y＝12﹣3×1＝﹣2．

∴AB＝|y|＝|﹣2|＝2．

∴矩形ABCD的周長為：2（AB+BC）＝2×（2+1）＝6．

②∵點A在拋物線y＝x2﹣3x上，故可設A點的坐標為（x，x2﹣3x），

∴B點的坐標為（x，0）．

∴BC＝3﹣2x，A在x軸下方，

∴x2﹣3x＜0，

∴AB＝|x2﹣3x|＝3x﹣x2

∴矩形ABCD的周長C＝2[（3x﹣x2）+（3﹣2x）]＝，

∵a＝﹣2＜0，拋物線開口向下，二次函數有最大值，

∴當x＝時，矩形ABCD的周長C最大值為．

此時點A的坐標為A．