Question

【題目】在直線上順次取A，B，C三點，分別以AB，BC為邊長在直線的同側作正三角形，作得兩個正三角形的另一頂點分別為D，E．

（1）如圖①，連結CD，AE，求證：CD=AE；
（2）如圖②，若AB=1，BC=2，求DE的長；
（3）如圖③，將圖②中的正三角形BEC繞B點作適當的旋轉，連結AE，若有DE2+BE2=AE2 ， 試求∠DEB的度數．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖①中，∵△ABD和△ECB都是等邊三角形，

∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，

∴∠ABE=∠DBC，

在△ABE和△DBC中，

，

∴△ABE≌△DBC，

∴AE=DC．

（2）解：如圖②中，取BE中點F，連接DF．

∵BD=AB=1，BE=BC=2，∠ABD=∠EBC=60°，

∴BF=EF=1=BD，∠DBF=60°，

∴△DBF是等邊三角形，

∴DF=BF=EF，∠DFB=60°，

∵∠BFD=∠FED+∠FDE，

∴∠FDE=∠FED=30°

∴∠EDB=180°﹣DEB∠DBE﹣∠DEB=90°，

∴DE= = = ．

（3）解：如圖③中，連接DC，

∵△ABD和△ECB都是等邊三角形，

∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，

∴∠ABE=∠DBC，

在△ABE和△DBC中，

，

∴△ABE≌△DBC，

∴AE=DC．

∵DE2+BE2=AE2，BE=CE，

∴DE2+CE2=CD2，

∴∠DEC=90°，

∵∠BEC=60°，

∴∠DEB=∠DEC﹣∠BEC=30°．

【解析】（1）欲證明CD=AE，只要證明△ABE≌△DBC即可．（2）如圖②中，取BE中點F，連接DF，首先證明△BDE是直角三角形，再利用勾股定理即可．（3）如圖③中，連接DC，先利用勾股定理的逆定理證明△DEC是直角三角形，得∠DEC=90°即可解決問題．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等邊三角形的性質的相關知識，掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°，以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．