Question

【題目】我們知道，可以單獨用正三角形、正方形或正六邊形鑲嵌平面．
如果我們要同時用兩種不同的正多邊形鑲嵌平面，可能設計出幾種不同的組合方案？
問題解決：
猜想1：是否可以同時用正方形、正八邊形兩種正多邊形組合進行平面鑲嵌？
驗證1：在鑲嵌平面時，設圍繞某一點有x個正方形和y個正八邊形的內角可以拼成一個周角．根據題意，可得方程：90x+ y=360，整理得：2x+3y=8，
我們可以找到方程的正整數解為 ．
結論1：鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著1個正方形和2個正八邊形的內角可以拼成一個周角，所以同時用正方形和正八邊形兩種正多邊形組合可以進行平面鑲嵌．
猜想2：是否可以同時用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合進行平面鑲嵌？若能，請按照上述方法進行驗證，并寫出所有可能的方案；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：在鑲嵌平面時，設圍繞某一點有a個正三角形和b個正六邊形的內角可以拼成一個周角，

根據題意，可得方程：60a+120b=360．

整理得：a+2b=6，

方程的正整數解為 ， ．

所以可以同時用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合進行平面鑲嵌，在一個頂點周圍圍繞2個正三角形和2個正六邊形或者圍繞著4個正三角形和1個正六邊形．

【解析】在鑲嵌平面時，設圍繞某一點有a個正三角形和b個正六邊形的內角可以拼成一個周角，根據平面鑲嵌的體積可得方程：60a+120b=360．整理得：a+2b=6，求出正整數解即可．
【考點精析】利用平面圖形的鑲嵌對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做平面圖形的鑲嵌．