Question

【題目】如圖，△ACB內接于圓O，AB為直徑，CD⊥AB與點D，E為圓外一點，EO⊥AB，與BC交于點G，與圓O交于點F，連接EC，且EG=EC．

（1）求證：EC是圓O的切線；

（2）當∠ABC=22.5°時，連接CF．

①求證：AC=CF；

②若AD=1，求線段FG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②2．

【解析】

（1）連接OC，證得OC⊥CE，即可證得結論；
（2）①通過證得∠AOC=45°=∠COF=45°，得出弧AC=弧CF，即可證得AC=CF；
②作CM⊥OE于M，首先證得CF=CG，得出CM垂直平分FG，然后通過三角形平分線的性質證得CM=CD，即可證得Rt△ACD≌Rt△FCM，從而證得FM=AD=1，即可證得FG=2FM=2．

（1）證明：連接OC，
∵OC=OB，

∴∠OCB=∠B，
∵EO⊥AB，
∴∠OGB+∠B=90°，
∵EG=EC，
∴∠ECG=∠EGC，
∵∠EGC=∠OGB，
∴∠OCB+∠ECG=∠B+∠OGB=90°，
∴OC⊥CE，
∴EC是圓O的切線；
（2）①證明：∵∠ABC=22.5°，∠OCB=∠B，
∴∠AOC=45°，
∵EO⊥AB，
∴∠COF=45°，
∴弧AC=弧CF，
∴AC=CF；
②解：作CM⊥OE于M，

∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°
∵∠ABC=22.5°，∠GOB=90°，
∴∠A=∠OGB=∠67.5°，
∴∠FGC=67.5°，
∵∠COF=45°，OC=OF，
∴∠OFC=∠OCF=67.5°，
∴∠GFC=∠FGC，
∴CF=CG，
∴FM=GM，
∵∠AOC=∠COF，CD⊥OA，CM⊥OF，
∴CD=DM，
在Rt△ACD和Rt△FCM中

∴Rt△ACD≌Rt△FCM（HL），
∴FM=AD=1，
∴FG=2FM=2．