Question

14．一個平行四邊形ABCD，AB=4，BC=9，點E是DC延長線上一點，連接AE交BC邊于點F，求BF+EC的最小值．

Answer 1

分析 設BF=x，EC=y，由AB∥DE，推出$\frac{AB}{CE}$=$\frac{BF}{CF}$，即$\frac{4}{y}$=$\frac{x}{9-x}$，可得y=$\frac{36}{x}$-4，推出BF+EC=x+y=x+$\frac{36}{x}$-4，由（$\sqrt{x}$-$\sqrt{\frac{36}{x}}$）²≥0，推出x-12+$\frac{36}{x}$≥0，推出x+$\frac{36}{x}$≥12，推出BF+EC≥12-4，即BF+EC≥8，由此即可解決問題．

解答 解：設BF=x，EC=y，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DE，
∴$\frac{AB}{CE}$=$\frac{BF}{CF}$，
∴$\frac{4}{y}$=$\frac{x}{9-x}$，
∴y=$\frac{36}{x}$-4，
∴BF+EC=x+y=x+$\frac{36}{x}$-4，
∵（$\sqrt{x}$-$\sqrt{\frac{36}{x}}$）²≥0，
∴x-12+$\frac{36}{x}$≥0，
∴x+$\frac{36}{x}$≥12，
∴BF+EC≥12-4，
∴BF+EC≥8，
∴BF+EC的最小值為8．

點評 本題考查平行四邊形的性質、最短問題、完全平方公式等知識，解題的關鍵是學會利用參數，構建函數解決最值問題，題目比較難，證明x+$\frac{36}{x}$≥12是本題的突破點．