Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠C＝60°，AD是⊙O的直徑，Q是AD延長線上的一點，且BQ＝AB．

（1）求證：BQ是⊙O的切線；

（2）若AQ＝6．

①求⊙O的半徑；

②P是劣弧AB上的一個動點，過點P作EF∥AB，EF分別交CA、CB的延長線于E、F兩點，連接OP，當OP和AB之間是什么位置關系時，線段EF取得最大值？判斷并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①⊙O的半徑為2；②當OP垂直平分AB時，線段EF取得最大值，理由詳見解析．

【解析】

（1）根據同弧所對的圓周等于圓心角的一半，結合等腰三角形的性質，可求∠OBQ＝90°；

（2）①設出半徑，表示出OQ，運用三角函數建立方程即可求解；

②過點C作CH⊥EF，垂足為H，交AB于點K，推理出“EF隨著HK的增大而增大，當HK取最大值時，EF取最大值”即可求解．

解：如圖1，

（1）連接OB，

∵∠C＝60°，

∴∠AOB＝120°，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA＝30°，

∵BQ＝AB，

∴∠Q＝∠OAB＝30°，

∴∠ABQ＝120°，

∴∠OBQ＝90°，

∴BQ是⊙O的切線；

（2）①設圓的半徑為r，則OQ＝6﹣r，

由（1）知，∠Q＝30°，∠OBQ＝90°，

∴＝sin30°＝,

∴，

解得：r＝2；

②如圖2，

當OP垂直平分AB時，線段EF取得最大值；

理由如下：

由（1）知，AQ＝6，∠Q＝∠BAQ＝30°，

可求AB＝，

過點C作CH⊥EF，垂足為H，交AB于點K，

∵EF∥AB，

∴CK⊥AB，△ABC∽△EFC，

∴，

∴EF＝，

易知：CK是定值，所以，EF隨著HK的增大而增大，

當HK取最大值時，EF取最大值，

∴當點P為劣弧AB的中點時，HK最大，此時OP垂直平分AB．