Question

【題目】如圖1，有一個“z”字圖形，其中AB∥CD，AB：CD：BC＝1：2：3．

（1）如圖2，若以BC為直徑的⊙O恰好經過點D，連結AO．

①求cosC．

②當AB＝2時，求AO的長．

（2）如圖3，當A，B，C，D四點恰好在同一個圓上時．求∠C的度數．

Answer 1

【答案】（1）①cosC=；②當AB＝2時，AO=；（2）∠C＝60°．

【解析】

（1）①連接BD，根據圓周角定理得到∠CDB＝90°，根據余弦的定義計算；

②作OE⊥CD于E，證明△AOB≌△EOC，根據全等三角形的性質得到∠A＝∠CEO＝90°，根據勾股定理計算即可；

（2）證明△AFB為等邊三角形，根據等邊三角形的性質、圓周角定理計算．

解：（1）①如圖2，連接BD，

∵BC為⊙O的直徑，

∴∠CDB＝90°，

在Rt△BCD中，cosC＝＝；

②如圖2，作OE⊥CD于E，

則CE＝DE，

∵AB＝2，AB：CD：BC＝1：2：3，

∴CD＝4，BC＝6，

∴AB＝CE＝2，

∵AB∥CD，

∴∠C＝∠ABO，

在△AOB和△EOC中，

，

∴△AOB≌△EOC（SAS），

∴∠A＝∠CEO＝90°，

∴OA＝ ＝；

（2）如圖3，連接AD交BC于F，

∵AB∥CD，

∴△AFB∽△DFC，

∴，

∴，

∵，

∴BF＝AB，

∴∠BFA＝∠A，

∵AB∥CD，

∴∠B＝∠C，

由圓周角定理得，∠A＝∠C，

∴∠A＝∠B＝∠AFB，

∴△AFB為等邊三角形，

∴∠C＝∠B＝60°．