Question

【題目】如圖，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，⊙D與BC、AC、AB都相切，切點分別是E、F、G，BA、ED的延長線交于點H，a、b是關于x的方程x2﹣（c+4）x+4c+8=0的兩個根．

(1)求證：△ABC是直角三角形；

(2)若25asin∠BAC=9c，求四邊形CEDF的面積．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)36．

【解析】

（1）根據根與系數的關系得到a+b=c+4，ab=4c+8，把第一等式兩邊平方后把第二個等式代入得到a2+b2=c2，根據勾股定理的逆定理即可得到結論；

（2）由25asin∠BAC=9c，即sin∠BAC=，再根據三角函數定義得sin∠BAC=，則3c=5a，設c=5x，則a=3x，b=4x，代入a+b=c+4求出x=2，則得到a=6，b=8，c=10；根據切線的性質得到DE=DF=DG，DE⊥BC，DG⊥AB，得到四邊形DECF為正方形，設DE=DF=DG=R，利用S△ABC+S梯形DECA=S△BED+S△DAB，得到關于R的方程，解方程求出R，即可得到四邊形CEDF的面積．

(1)∵a、b是關于x的方程x2﹣（c+4）x+4c+8=0的兩個根，

∴a+b=c+4，ab=4c+8，

∴（a+b）2=（c+4）2，即a2+2ab+b2=c2+8c+16，

∴a2+b2=c2，

∴△ABC是直角三角形；

(2)連DB，如圖

∵25asin∠BAC=9c，即sin∠BAC=，

在Rt△ABC中，sin∠BAC=，

∴=，

∴25a2=9c2，

∴3c=5a，

設c=5x，則a=3x，b=4x，

∴5x+4x=3x+4x+4，解得x=2，

∴a=6，b=8，c=10，

∵⊙D與BC、AC、AB都相切，切點分別是E、F、G，

∴DE=DF=DG，DE⊥BC，DG⊥AB，

∴四邊形DECF為正方形，

設DE=DF=DG=R，

∵S△ABC+S梯形DECA=S△BED+S△DAB，

∴×6×8+×（R+8）×R=×（6+R）×R+×10×R，解得R=6，

∴四邊形CEDF的面積=R2=36．