Question

【題目】如圖，在中，，，于點，的平分線分別交、于、兩點，為的中點，的延長線交于點，連接，下列結論：①為等腰三角形；②；③；④．其中正確的結論有（ ）

A.個B.個C.個D.個

Answer 1

【答案】D

【解析】

①由等腰直角三角形的性質得∠BAD=∠CAD=∠C=45°，再根據三角形外角性質可得到∠AEF=∠AFE，可判斷△AEF為等腰三角形，于是可對①進行判斷；求出BD=AD，∠DBF=∠DAN，∠BDF=∠ADN，證△DFB≌△DAN，即可判斷②③；連接EN，只要證明△ABE≌△NBE，即可推出∠ENB=∠EAB=90°，由此可知判斷④．

解：∵等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，

∴∠BAD=∠CAD=∠C=45°，BD=AD，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=22.5°，

∴∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°，

∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5°，

∴∠AEF=∠AFE，

∴AF=AE，即△AEF為等腰三角形，所以①正確；

∵為的中點，

∴AM⊥BE，

∴∠AMF=∠AME=90°，

∴∠DAN=90°67.5°=22.5°=∠MBN，

在△FBD和△NAD中

，

∴△FBD≌△NAD（ASA），

∴DF=DN，AN=BF，所以②③正確；

∵AM⊥EF，

∴∠BMA=∠BMN=90°，

∵BM=BM，∠MBA=∠MBN，

∴△MBA≌△MBN，

∴AM=MN，

∴BE垂直平分線段AN，

∴AB=BN，EA=EN，

∵BE=BE，

∴△ABE≌△NBE，

∴∠ENB=∠EAB=90°，

∴EN⊥NC，故④正確，

故選：D．